 Những căn nhà gỗ được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác
OAB.O'A'B'. Với hệ trục toạ độ Oxyz thể hiện như Hình (đơn vị đo cm), hai điểm A'
và B' có toạ độ lần lượt là (240; 450; 0) và (120; 450; 300). Từ những thông tin trên,
có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ hay không?

Câu hỏi trên cũng có nghĩa là nếu như chúng ta biết toạ độ các điểm trong
không gian, liệu chúng ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm đó hay
không?
Ta sẽ đi tìm hiểu vấn đề đó trong bài học hôm nay

      
a ) a i  5k ; b i  3 j  9k
  
 
 
b) a  b 2i  3 j  14k  a  b 2;3;14 




2a 2i  10k  2a 2;
0;10 
2;0;10



 Trong không gian Oxyz cho hai vectơ: a ( x; y; z) và b ( x '; y '; z ') . Ta


 
 a  b ( x  x '; y  y '; z  z ')
 a  b ( x  x '; y  y '; z  z ')

 k a k ( x; y; z) (kx; ky; kz), k  

có: 



Nếu tọa độ vectơ a là ( x; y; z) thì tọa độ vectơ đối  a là gì? Là ( x;  y;  z)

 

Hai vectơ a  x; y; z , b  x '; y '; z ' , b 0 cùng phương


khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho a kb . Khi đó

 x kx '

 y ky '.
 z kz '





a) Gọi toạ độ của M là (x; y; z) thì OM  x; y; z ; OA  x A ; y A ; z A ; OB  xB ; yB ; z B 
1  
 x  xB y A  y B z A  z B 

OA  OB  A
; 
; 
.

2
2
2 
 2
1 

Từ đẳng thức OM  OA  OB suy ra:
2
x A  xB
y A  yB
z A  zB
xM 
; yM 
; zM 
.
2
2
2

1  
b) Tương tự câu a) Từ đẳng thức OG  OA  OB  OC suy ra:
3













x A  xB  xC
y A  yB  yC
z A  z B  zC
xG 
; yG 
; zG 
.
3
3
3

A  x A ; y A ; zA ; B  xB ; yB ; zB ; C  xC ; yC ; zC 

 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là  x A  xB ; y A  yB ; z A  zBB  .
2
2 
 2
 x A  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC
;
;
 Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là 
3
3
3



.


a) Áp dụng công thức tọa độ trung điểm và trọng tâm tam giác, ta có
M(2; 2; 2); G(2; 1; 3)
b) Từ giả thiết ta có x A  xB  xN 3xC  xN 2 . Tương tự y N  7; z N 13
Vậy N 2;  7;13 là điểm cần tìm.

II . BIỂU THỨC TỌA ĐỘ TÍCH VÔ HƯỚNG

  
 2
 

a) Vì i có độ dài là 1 nên i .i  i 1. Vì i  j ; j  k nên i . j  j .k 0
      

b) Ta có a.i  xi  yj  zk .i xi .i  yj .i  zk .i  x.1  x


Tương tự a. j y; a.k z 
 


 
 


c) Từ câu b) ta có a.b a. x ' i  y ' j  z ' k a. x ' i  a. y ' j  a. z ' k



 x ' a.i  y ' a. j  z ' a.k  xx ' yy ' zz '






      
     



 Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ a ( x; y; z); b ( x '; y '; z ')
được xác định bởi công thức:


a.b  xx ' yy ' zz '

 


 Với a ( x; y; z) 0; b ( x '; y '; z ') 0 ta có:  
 
a.b
xx ' yy ' zz '

 a  b  xx ' yy ' zz ' 0
 cos a, b    
2
2
2
2
2
2
a.b
x

y

z
.
x
'

y
'

z
'


 a  a.a  x 2  y 2  z 2

 



 
 a  12  42  2 2  21
 a. b 1.  4   4.1  2.0 0  a  b;
2
 
 2
   
 a  b  3;5;2   a  b  a  b . a  b  3   52  22 38







 





  2 2 2
 2 2
Hoặc a  b a  b  2ab a  b 





 21   17  38
2

2

a) A(0; 0; 0); S(0; 0;2); B(3; 0; 0); D(0; 4; 0); C(3; 4; 0)
 
7
b) BD 5; SC  29; cos BD, SC 
 
5 29
0
 BD, SC 74,9








a) Chu vi của tam giác ABC là: AB  BC  CA 12  110

18

 12100
b) cos BAC 
 BAC
35

Theo giả thiết ta có
Gọi C(x; y, z) là vị trí máy bay sau 5 phút tiếp

1
theo.
BC  x  940; y  550; z  8   AB 70;25; 0,5 
2
 x 1010

  y 570  C 1010; 570;8,5 
 z 8, 5

Gọi D là vị trí máy bay sau 10 phút tiếp theo. Khi đó


Theo giả thiết ta có BD  AB 140; 50; 1
 D(1 080; 600; 9).

 AA ' 450 cm
 A ' 240; 450; 0   
 A ' O ' 240 cm

 A ' B '  120; 0;300   A ' B ' 60 29


 OO '  A ' A 450 cm  O ' 0; 450; 0   O ' B ' 120; 0;300   O ' B ' 60 29
 
A ' B '. A ' O '
2 29


 cos  

  68, 2 0
29
A ' B ' . A 'O '

a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai có toạ độ
lần lượt là A(2; 1; 0,5) và B(-1; -1,5; 0,8).
b) Khoảng cách
giữa hai chiếc khinh khí cầu là

AB  AB  15,34 3,92 km
c) Khinh khí cầu thứ nhất cách xa điểm xuất phát hơn vì:


OA  OA  5,25 km; OB  OB  3,89 km

  
a) a  b  c 6; 0;6 ;

  
2a  3b  5c  15; 7;  8.

 

b) a.  b 1; 2a.c 34

 

  
 
b) NM  NP  9;17;  2 ; MNPQ là HBH  NQ NM  NP  Q  5;13; 0 

c) Chu vi của hình bình hành MNPQ: 2MN  2MP 2



114  74



Gọi A là đỉnh của hình hộp chữ nhật nằm trên mặt phẳng Oxz và
không nằm trên các trục. Gọi B là đỉnh của hình hộp chữ nhật
A
nằm trên mặt phẳng Oyz và không nằm trên các trục.
Trần nhà có hình chữ nhật nên điểm treo đèn (là tâm
của hình chữ nhật) là trung điểm của đường chéo AB.
Vì A 6; 0; 3, B 0;8;3 nên toạ độ của điểm treo đèn là
.
3; 4; 3





B

Khoảng cách từ tàu thám hiểm đến ra đa là
252  152   10  30,8 km
2

Khoảng cách này lớn hơn phạm vi theo dõi
của radar nên radar không thể phát hiện
được tàu thám hiểm.

Hình.2.52

https://www.facebook.com/profile.php?id=100095695381191
Trân trọng!